Фигурные числа — это числа, связанные с геометрическими построениями определённого типа.
Из фигурных чисел чаще всего рассматривают многоугольные числа. Кроме многоугольных, к фигурным числам относят:
— линейные — числа, которые не разлагаются на множители, то есть простые числа, дополненные единицей;
— плоские — числа, которые можно представить в виде произведения двух множителей, отличных от 1 и самого числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … — телесные — числа, которые можно представить в виде произведения трёх множителей, отличных от 1 и самого числа: 8, 12, 16, 18, и20, 24, 27, 28, …
История фигурных чисел
В строительстве сооружений древности — пирамид, дворцов и храмов — применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в виде треугольника,
четырёхугольника, квадрата и некоторых других фигур. С этими же фигурами человек встречался при межевании и измерении земельных участков. Знакомясь с различными геометрическими фигурами, люди начали подмечать их общие свойства. Так постепенно складывалась геометрия — наука о геометрических фигурах. Геометрия достигла высокого развития в Древней Греции в школе Пифагора (VI–V вв. до н. э.).
Пифагор и его ученики развивали не только геометрию, но и арифметику, причём их учение о числах тесно переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли различные фигуры из камешков или костяшек, изображая числа в виде точек, группируемых
в геометрические фигуры.
Такое представление чисел облегчало пифагорейцам (ещё раньше — вавилонянам) изучать свойства чисел. Числа, которые можно представить с помощью геометрических фигур, получили название фигурных.
Фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и других греческих учёных: Эратосфена (III–II в. до н. э.), Никомаха (I–II в.),
Диофанта (III в.) и др. Фигурные числа изучали также индийские математики.
Как получают многоугольные числа?
Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, …, n, … начинается с единицы; все последующие числа получаются прибавлением к предыдущему числу по единице. Естественно прийти к мысли составить последовательности, начиная с единицы и образуя дальнейшие числа прибавлением к предшествующему числу по 2, по 3, по 4 и т. д. Образуются последовательности:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, n, …
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 2 1 n − , …
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 3 2 n − , …
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …, 4 3 n − , …
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, …, 5 4 n − , …
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, …, 6 5 n − , …
Находя суммы одного, двух, трёх и т. д. чисел этих последовательностей, получим:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … — треугольные числа;
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … — квадратные числа;
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70 … — пятиугольные числа;
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, … — шестиугольные числа;
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, … — семиугольные числа;
1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, — восьмиугольные числа;
…………………………
