01-05. Задачи с практическим содержанием. Зонт

РАЗБОР ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
Задача «Зонт»

Два друга, Максим и Влад задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из десяти отдельных клиньев, натянутых на каркас из десяти спиц (рис. 1). 

Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Максим и Влад сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 32 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – равно  110 см.

1. Длина зонта в сложенном виде равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 5,8 см.

Решение:

1) 25−5,8=25,0−5,8 =19,2 (см) – треть длины спицы

2) 19,2∙3 =57,6 (см) – длина всей спицы

Ответ: 57,6

2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Максим, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Максима, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 57,2 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.

3. Влад предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах. OC = R.

Решение:
Найдем радиус по теореме Пифагора:
R²=(R–25)² + 552
R²=R² – 50R + 625 + 3025
R² – R² – 50R = 3650
50R=3650
R=3650:50
R=73 
Ответ: 73

4. Влад нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S=2πRh, где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Влада. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:
S = 2πRh – площадь поверхности сферического сегмента
π ≈ 3,14          R = 73 см        h = 25 см          S = 2 3,14 73 25 = 11461(см²)
Ответ: 11461

5. Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 140 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 26 зонтов, таких же, как зонт, который был у Максима и Влада. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 980 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?

Решение:
1) 2000 ∙140=280 000 (см²) – общая площадь рулона ткани
2) 980 10=9800 (см²) – площадь ткани для одного зонта (10 треугольников)
3) 9800 ∙ 26=254 800 (см²) – площадь ткани для 26 зонтов
4) 280 000 – 254 800 = 25 200 (см²) – площадь ткани, ушедшей в обрезки
5) Ткань:  280 000 см² – 100 %
   Обрезки: 25200 см² – х %

Ответ: 9